数学の概念を分かりやすく説明する記事「整数編②」

数学 数学の概念を分かりやすく説明

 

注意：

①～③まで基本性質を正しいかどうか証明しているので興味がある方は見てもらえればうれしいです。即興で証明しているので間違いがあるかもしれません。もし、間違いを指摘するコメントをもらえればうれしいです。

・目次

１、大きいと小さいって何？

　①なぜ、a、bが整数のとき、a<b、a=b、a>bのうちのどれか１つだけが必ずなりたつの？

　②なぜ、a、b、cが整数のとき、a<b、b<c ならば a<cなの？

　③　②で例えばa=5、b=1、c=3を入れたら5<1、1<3 ならば 5<3となり成立しないよ。

まとめ

１、大きいと小さいって何？

　

　整数のことは分かったし、相等のことも分かった。なら、大きいと小さいって何だろう？

 

　整数の話で１と２はどっちのほうが大きいって聞かれたら５のほうが大きいよね。逆に１と２はどっちのほうが小さいって聞かれたら１のほうが小さいよね。

 

　では、整数の世界に入ってみよう。

　

　整数の世界での数の列はこのようになっている。…、－４、－３、－２、－１、０、１、２、３、４、…。

 

　じゃあ、さっき整数の話で１と２は２が大きくて１が小さいとなったよね。では、戻って数の列を見てみよう。

 

　１って２の左にあらわれているよね。これが２よりも１が小さいっていうんだ。

 

　つまり、整数aが整数bよりも左に表われたら、aはbよりも小さいっていうよ。逆の場合はbはaよりも大きいというよ。

 

　そして、記号であらわすとa＜ b、b ＞a と表す。例えば、aが１、bが２の場合、１＜２、２＞１となるよ。

 

　この記号は自然数の場合と同じように、不等号、大小関係、大なり、小なりっていうんだ。

 

　ちなみに僕が今、記事を書きながら食べているチョコレートの数はb個だよ。大小関係は次のようになっているよ。９９＜b＜１０１だよ。ちなみにbは整数だよ。分かったかな？

 

①なぜ、a、bが整数のとき、a<b、a=b、a>bのうちのどれか１つだけが必ずなりたつの？

 

　じゃあ、成り立つか証明してみよう。

 

　例えば、a、bが整数のとき、a<b、a=b、a>bのうちどれも必ず成り立たないと仮定するよね。

 

　じゃあ、おかしなことが起きる。a=1、b=2でも整数ならなんでもいいんだけど入れてみて。

 

　1<2、1=2、1>2となって２つは成り立たないけど、１つ成り立っているよね。そうなるとさっきの仮定と矛盾するよね。

　

　つまり、この仮定は偽でa、bが自然数のとき、a<b、a=b、a>bのうちのどれか１つだけが必ず成り立つが真と証明された。だから成り立つんだよ。

 

②なぜ、a、b、cが整数のとき、a<b、b<c ならば a<cなの？

 

　これも正しいかどうか証明してみよう。

　

　a、b、cに整数を入れてみよう。なんでもいい。a=2、b=3、c=5とするよ。じゃあ、こうなるよね。2<3、3<5 ならば 2<5。これは正しいよね。

 

③　②で例えばa=5、b=1、c=3を入れたら5<1、1<3 ならば 5<3となり成立しないよ。

 

　これは面白い着眼点だね。確かに。そう入れるとおかしくなる。では、その考えが正しいか証明してみよう。

 

　では、5<1、1<3 ならば 5<3となることが正しいと仮定しよう。でも、正しくない例が②の証明であり、どちらかが偽か真かってことになるよね。

 

　じゃあ、まずどちらが偽か判断してみよう。もし、この仮定が真だとすると、②の証明が成立しないよね。でも、逆に②の証明が真だとするとこの仮定は偽となり成立しない。

 

　すると、⑴この仮定を偽として考え、②の証明が真となると成立する。⑵この仮定を真と考え、②の証明が偽となると成立しなくなる。

 

　つまり、②が成立する場合、⑵に矛盾があることが分かるよ。

 

　では、⑵の矛盾を探そう。

 

　この仮定が真である場合、5<1、1<3を見てみよう。1は5よりも大きいが、3は1よりも大きいとなる。

 

　これ、おかしくない？　5>3でしょ。1>5>3なのに3>1>5と言っている。これが矛盾となり、この仮定は偽であることが証明される。

 

　この仮定が偽であることが証明されたので、②が真であることが分かる。

 

　だから、②が成り立ち、この仮定は偽であることが分かった。分かるかな？

 

 

まとめ

１、つまり、整数aが整数bよりも左に表われたら、aはbよりも小さいっていうよ。逆の場合はbはaよりも大きいというよ。